Lernumgebungen im Mathematikunterricht
 Gerhard Otte

 Aus: Praxis der Mathematik 1/38. Jg.1996
In den letzten Jahren hat sich der Computer an vielfältigen Stellen als sinnvolles Hilfsmittel im Mathematikunterricht erwiesen.
Dabei hat eine Verschiebung des Akzents weg von  dem Algorithmenentwurf hin zu der Verwendung von fertiger Software stattgefunden. Für den Einsatz von Software wie DERIVE, GEOLOG oder CABRI Géomètre finden sich in der didaktischen Literatur eine Fülle von Ideen.
Ich möchte  Ihnen an zwei Unterrichtsbeispielen demonstrieren, wie Sie die Programmierumgebung LOGO im Mathematikunterricht einsetzen können.
Ich denke bei dem Einsatz von LOGO im Mathematikunterricht jedoch nicht an die Möglichkeit,  für bestimmte Rechenverfahren die zugehörigen Algorithmen zu entwerfen. Der Entwurf von Algorithmen hat seinen Platz inzwischen zu Recht eher im Informatik- als im Mathematikunterricht
Bei der Verwendung von LOGO im  Mathematikunterricht kommt es mir vielmehr darauf an, den Computer als ein Unterrichtsmedium einzusetzen, mit dem man bestimmte Inhalte des Mathematikunterrichts besser und deutlicher veranschaulichen kann als mit einem anderen  Unterrichtsmedium.
Im Vergleich zu anderen Medien ( wie Overheadfolie, Lehrfilm, oder anderem) bietet der Computer mit geeigneter Software völlig neue Möglichkeiten. Mit ihm ist es möglich, zu bestimmten Themen eine  besondere Lernumgebung zur Verfügung zu stellen. Innerhalb dieser Lernumgebung mit einem festen und überschaubaren Vorrat an Funktionen können die Schüler sich die Inhalte dann weitgehend selbständig aneignen. Das besondere des  Mediums Computer liegt bei diesem Konzept darin, daß er auf bestimmte Aktionen des Schülers reagiert und darauf wiederum eine neue Reaktion des Schülers erfolgen kann. Lernen findet dabei in einer ständigen Interaktion mit dem  Computer statt
Schon der Erfinder von LOGO, Prof. Seymore Papert, hatte einen solchen Einsatz von LOGO im Mathematikunterricht im Auge. Er beschreibt in seinem Buch 'Mindstorms'(1) mehrere Beispiele für solche Mikrowelten  als 'Brutkästen für Wissen'.
Ich möchte Ihnen zwei Beispiele für einen solchen Einsatz von LOGO im Mathematikunterricht darstellen, die ich an meiner Schule, dem Immanuel-Kant-Gymnasium in Rüsselsheim, ausprobiert habe. Für  diese Beispiele verwende ich die von mir entwickelte Version WIN-LOGO(2) . Sie funktionieren jedoch auch unter DOS mit 'LOGO für den PC'(3)
Wie man den Schülern mit Hilfe der Igelgeometrie erste Erfahrungen mit Winkeln und  Richtungsänderungen ermöglichen kann, beschreibt Seymore Papert auf eindrucksvolle Art und Weise in dem o.g. Buch.
Mein erstes Beispiel zeigt, wie man mit Hilfe der Igelgeometrie die Kreiszahl pi einführen kann. Die Idee  hierfür stammt von Herbert Löthe(4). Diese Einheit habe ich in Klasse 7 durchgeführt.
Um einen Zusammenhang zwischen dem Umfang eines Kreises und dessen Durchmesser zu entdecken, verwendet man den Igel. Der Igel 'versteht'  die Befehle VORWÄRTS und RÜCKWÄRTS zur Bewegung auf der Grafikseite und die Befehle RECHTS und LINKS zur Richtungsänderung. Weiterhin verwendet man die WIEDERHOLE-Anweisung, um den Igel bestimmte Befehle wiederholt ausführen zu  lassen.
Zum Zeichnen eines Quadrats der Seitenlänge 100 beispielsweise befiehlt man
        WIEDERHOLE 4 [ VORWÄRTS 100 RECHTS 90 ]
Ein Quadrat der Seitenlänge 100 besteht aus der  4maligen Wiederholung der Anweisungen VORWÄRTS 100 RECHTS 90. Die eckigen Klammern begrenzen die Befehle, die wiederholt werden sollen.
Für den Igel ist der Kreis nun nichts anderes als die 360fache Wiederholung einer  bestimmter Vorwärtsbewegung und einer Rechtsdrehung um 1 Grad:
         WIEDERHOLE 360 [ VORWÄRTS 2 RECHTS 1 ]
Was auf dem Bildschirm nahezu wie ein Kreis aussieht, ist natürlich in  Wirklichkeit ein regelmäßiges 360-Eck. Hiervon kann man sich bei genauer Betrachtung des Bildschirms leicht überzeugen. Die Länge des Weges , den der Igel bei einem 'Rundlauf' zurückgelegt, ist ein Näherungswert für den Umfang  des Kreises. Er beträgt: 360 x 2 Igelschritte = 720 Igelschritte.
Bei der Auflösungen der meisten Grafikkarten wird die Darstellung des regelmäßigen Vielecks genauso gut, wenn man nur 36 Mal wiederholt.
         WIEDERHOLE 36 [ VORWÄRTS 20 RECHTS 10 ]
Der Umfang beträgt 36 x 20 Igelschritte = 720 Igelschritte.
Mit diesen Kenntnissen können die Schüler nun Ihre Suche nach dem  Zusammenhang zwischen dem Umfang des Kreises und dem Durchmesser beginnen.
Dazu lassen sie den Igel mit
         LINKS 90 VORWÄRTS 100 RECHTS 90
den Durchmesser 100 zeichnen.  Die Aufgabe der Schüler besteht nun darin, durch Ausprobieren das passende regelmäßige 36-Eck zu diesem Durchmesser zu finden.

 

Figur 1
Das 36-Eck mit
             WIEDERHOLE 36 [ VORWÄRTS 8 RECHTS 10 ]
gehört offensichtlich nicht zu diesem Durchmesser. Es ist zu klein.
Das 36-Eck aus
            WIEDERHOLE 36 [ VORWÄRTS 9 RECHTS 10 ]
ist aber zu groß.
Nach einigen weiteren Versuchen stellen die Schüler fest, daß bei einer Schrittzahl von 8,8 ein 36-Eck entsteht, das durch den Endpunkt des Durchmessers verläuft. Für die Berechung des Umfangs kann man LOGO verwenden.
            DRUCKEZEILE 36 * 8,8
gibt das Ergebnis von 36 * 8,8 = 316,8 auf der Textseite aus.
Nach dem Löschen der Grafikseite mit BILD suchen die Schüler dann die 36-Ecke zu anderen Durchmessern ( 200, 300, 400, usw.) und notieren den Umfang in einer Tabelle.
Dabei entwickeln die Schüler interessante Ideen, um bessere Werte für den Umfang zu erhalten.
- Durch Erhöhung der Wiederholungen z.B. auf 360 erhält man eine nicht sichtbare Verfeinerung und eine bessere  Annäherung an einen Kreis. Der Umfang des 360-Ecks liegt näher an dem gesuchten Kreisumfang.
- Das regelmäßige Vieleck zu dem Durchmesser 1000 oder 2000 kann mit diesem Verfahren ebenfalls gefunden  werden, obwohl nur ein kleiner Teil des Vielecks und des Durchmessers zu sehen ist.. Dazu zeichnet man den Durchmesser so, daß sich der Endpunkt auf der Grafikseite befindet.
Dazu gibt man z.B. ein:
            LINKS 90 RÜCKWÄRTS 1000 LINKS 90
Da der Endpunkt des Durchmessers auf der Grafikseite liegt, können die Schüler beobachten, ob ihr Vieleck den  Endpunkt trifft oder nicht.
- Um die Anzahl der Fehlversuche zu vermindern, beginnen Schüler zu überlegen, mit welcher Zahl man die Schrittzahl multiplizieren muß, wenn man den Durchmesser z.B. verdoppelt.
Die Wertetabelle eines Schülers könnte beispielsweise so aussehen:

Durchmesser

100

300

300

1000

5000

Umfang

316,8

946,8

943,2

3142,8

15710,4

Wiederholungen

36

36

360

360

360

Proportionalitätsfak- tor

3,168

3,156

3,144

3,1428

3,14208

                                                                         Tabelle 1

Die Frage nach einem Zusammenhang zwischen Durchmesser und dem Umfang führt auf die Vermutung, es könne sich um eine proportionale Zuordnung handeln.

 Die Division von Umfang durch Durchmesser liefert wirklich annähernd den gleichen Wert. Die 'besseren' Werte für den  Proportionalitätsfaktor erhält man aus den Wertepaaren mit hoher Anzahl von Wiederholungen, weil das regelmäßige Vieleck den Kreis dabei besser annähert.

 Dazu beobachtet man die Veränderung des Umfangs bei zunehmender Anzahl der Wiederholungen. Die Werte in der Tabelle unten wurden bei einem Durchmesser von 1000 ermittelt.

Wiederholungen

36

72

180

360

3600

Schrittzahl

87,5

43,7

17,46

8,73

0,873

Umfang

3150

3146,4

3142,8

3142,8

3142,8

Tabelle 2
An den Strecken auf der Grafikseite ist deutlich zu erkennen, daß es sich bei der Wiederholungszahl von 36 um ein  Vieleck handelt. Ab einer bestimmten Anzahl ändert sich der Umfang scheinbar nicht mehr. An dem Proportionalitätsfaktor des 360-Ecks zu dem Durchmesser 5000 (Tabelle 1) erkennt man jedoch, daß es offensichtlich  noch einen besseren Wert gibt.
Der gesuchte Proportionalitätsfaktor wird dann als die Kreiszahl © 3,14 vorgestellt. Mit der Zahl © kann man aus dem Durchmesser den Umfang eines Kreises berechnen.
U = pi *d
Auf die Einordnung der Zahl pi als Irrationalzahl wird man im 7. Schuljahr verzichten.
Mit großem Interesse beobachtete ich den Eifer und Elan, denn die Schüler bei der Arbeit mit dem LOGO-System  zeigten. Der überschaubare Vorrat an Befehlen und die grafische Darstellung ermöglichten ein selbständiges Herangehen an die Problemstellungen und regten die Phantasie an. Das beschriebene Verfahren soll eine spätere  Behandlung der Kreiszahl pi im Zusammenhang mit den reellen Zahlen nicht ersetzen. Es bereitet die dann einzusetzenden Methoden jedoch ausgezeichnet vor.
Das nächste Unterrichtsbeispiel eignet sich für den Grundkurs Mathematik.
In der Jahrgangstufe 11 führt der klassische Weg zum Ableitungsbegriff über das Tangentenproblem.
Dieser Zugang ist jedoch im Grundkurs nicht unproblematisch, weil er den Grenzwertbegriff voraussetzt. Der damit verbundene Rechenaufwand ist häufig nur unter großen Schwierigkeiten realisierbar.
Für die Lernumgebung, die ich den Schülern zu dem Tangentenproblem zur Verfügung stelle, reichen die Grundbefehle des LOGO-Systems nicht mehr aus. Ich habe deshalb 3 Programme geschrieben und stelle diese als zusätzliche  Befehle zur Verfügung. Die Programme sind im Anschluß an diesen Aufsatz abgedruckt.
WIN-LOGO unterstützt eine Erweiterung der vorhandenen Befehle dahingehend, daß der Benutzer keinen Unterschied  zwischen den neuen Befehlen und den vorhandenen LOGO-Befehlen bemerkt.
Der neue Befehl SETZE_FUNKTION dient zu Definition einer Funktion. Mit SETZE_FUNKTION [ :x ^ 2 ] definiert man die Funktion f(x) = x2
Der Befehl ZEICHNE zeichnet den Graphen der definierten Funktion in dem angegebenen Intervall. Mit ZEICHNE 0 2 entsteht der Graph der Funktion in dem Intervall [ 0; 2 ]

 

Figur 2
Der Befehl SEKANTE zeichnet die Sekante durch die angegebenen Punkte des Graphen und gibt ihre Steigung aus.  Die Eingabe von SEKANTE 1 2 zeichnet die Sekante, die den Graphen an den Stellen 1 und 2 schneidet.
Das Tangentenproblem besteht nun darin, die Steigung einer Kurve an einer bestimmten Stelle zu finden. Diese  Steigung erhält man dadurch, daß man mehrere Sekanten durch den Punkt der Kurve zeichnet und dabei den anderen Schnittpunkt auf diesen Punkt zu bewegt. Die Steigungen der Sekanten nähern sich der Steigung (der Tangente) an  der Stelle um so besser an, je kleiner der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten ist.
Mit den o.g. Befehlen sind die Schüler nun dazu in der Lage, die Tangentensteigung über die Sekantensteigungen zu  ermitteln. Sie zeichnen dazu die Kurve und Sekanten. Die Berechnung der Sekantensteigungen wird von LOGO durchgeführt.
Die Figur 2 zeigt den Graphen von f(x) = x2 und die Sekanten bei Annäherung von links an die Stelle 2.
Für die SEKANTE 1 2 berechnet LOGO die Steigung 3, für die SEKANTE 1 1,5 die Steigung 2,5 und die SEKANTE 1 1,1 besitzt die Steigung 2,1. Die Steigungen nähern sich scheinbar immer mehr der Zahl 2 an. Auf dem Bildschirm ist  deutlich zu erkennen, daß sich die Lage der Sekante bei Annäherung an die Stelle 2 kaum noch verändert.
Dies wird durch die Annäherung der Sekanten von rechts bestätigt.
        SEKANTE 0 1 Steigung 1;
        SEKANTE 0,5 1 Steigung 1,5
        SEKANTE 0,9 1 Steigung 1,9
        SEKANTE 0,9999 1 Steigung 1,9999
An den ausgedruckten Steigungen ist zu erkennen, daß die Steigung der Tangente an der Stelle 1 vermutlich 2 beträgt.
Nach dem Säubern des Bildschirms mit BILD versucht man mit dem gleichen Verfahren die Tangentensteigungen in anderen Punkten zu ermitteln.
Trägt man die Steigungen in eine Tabelle ein, so entsteht bald die Vermutung, daß die Tangentensteigungsfunktion f(x) = 2x lautet.
Mit dem gleichen Verfahren können die Schüler auch die Ableitungsfunktionen von f(x) = x3, f(x) = x4 , f(x) = x5 ermitteln und die Potenzregel entdecken. Selbstverständlich lassen sich auch Exponentialfunktionen oder  trigonometrische Funktionen behandeln. Entsprechende Experimente mit f(x) = 2x2, f(x) = 3x2 , usw. und f(x) = x2 + x3 führen zur Faktor- und Summenregel.
Im Anschluß an diese Experimente mit dem LOGO-System ist es sicherlich notwendig, an einigen Beispielen die Berechnung der Tangentensteigung über den Grenzwert der Sekantensteigungen durchzuführen. Als Vorbereitung  hierfür haben die Schüler aber dann durch eigene Experimente die grundlegenden Regeln für die Berechnung der Ableitungsfunktion entdeckt. Das LOGO-System nimmt den Schülern in der Anfangsphase die zeitaufwendigen  Berechnungen ab und visualisiert die Vorgänge so, daß die zugrunde liegenden Zusammenhänge deutlich werden.
Das beschriebene Verfahren kann auch für die Einführung des Differenzierbarkeitsbegriffs verwendet werden. Für die  Berechnung der Funktionswerte greifen die Befehle ZEICHNE und SEKANTE auf die selbstgeschriebene Funktion F zurück. EDIT F bringt diese Funktion in den Editor. Um die abschnittweise Funktion
             f(x) = { 3x - 2 für x >= 1; x2 für x < 1
zu definieren, löscht man die zweite Programmzeile und fügt die folgende Zeile ein:
             WENN :x < 1 DANN RÜCKGABE :x ^ 2 SONST RÜCKGABE 3 * :x - 2
Mit dem Befehle ZEICHNE läßt man den Graphen in dem Intervall [0;2] zeichnen. Mit der SEKANTE-Anweisung versucht man dann mit dem beschriebenen Verfahren die Steigung der Tangente an der Stelle 1 zu ermitteln.
Auch in dieser Einheit war das Interesse und der Eifer der Schüler groß. Die Rückmeldung des System ermutigte zu neuen Experimenten mit veränderten Parametern und führte schnell zu greifbaren Ergebnissen. Wichtig ist auch bei  diesem Verfahren, daß eine spätere Behandlung des Sachverhalts mit Hilfe des Grenzwertes sehr gut vorbereitet wird.
Dies waren zwei Beispiele dafür, wie man Lernumgebungen sinnvoll im Mathematikunterricht einsetzen kann. Auf dem Computer wird ein abgegrenzten Vorrat an Funktionen zur Verfügung gestellt, der zum selbständigen Experimentieren  auffordert. Die Rechenfähigkeit des Computers wird benutzt, um dem Schüler schnell Vermutungen über Zusammenhänge zu ermöglichen. Die Grafikfähigkeit des Computers dient dazu, Vorgänge und Zusammenhänge zu  visualisieren. Die Schüler werden dabei auf die mathematischen Verfahren zum Verifizieren der Zusammenhänge vorbereitet.
Hervorheben möchte ich in diesem Zusammenhang, daß ich keinesfalls die mathematische exakte Behandlung durch Lernumgebungen ersetzen möchte. Ich bin auch nicht der Ansicht, daß sich zu jedem Thema eine solche  Lernumgebung zur Verfügung stellen läßt. Es könnte jedoch eine interessante didaktische Aufgabe sein, die Stoffpläne  mit dem Ziel zu durchsuchen, an welchen Stellen durch das Bereitstellen von Lernumgebungen die Lernziele besser erreicht werden könnten.
Die Forderung nach einem solchen Einsatz des Computers im Unterricht wird in letzter Zeit von Bildungsexperten  lautstark vertreten. "Es geht um eine neue Qualität von Wissensvermittlung, um völlig neue Formen des Unterrichts. Computer können viel anschaulicher komplizierte Sachverhalte darstellen."(5)
Die Programmierumgebung LOGO eignet sich für das Konzept der Lernumgebungen wegen der anschaulichen Igelgrafik und der Möglichkeit zur Befehlserweiterung besonders gut. LOGO kann aus dem gleichen Grunde auch sehr  gut in der Informationstechnischen Grundbildung, im Informatik-, Technik- und Physikunterricht(6) eingesetzt werden.
Literatur:
(1) Papert, Seymore: Kinder, Computer und neues Lernen. Birkhäuser Verlag 1985.
(2) Otte, Gerhard: WIN-LOGO. Dümmler Verlag 1994.
(3) Otte, Gerhard: LOGO für den PC. Dümmler Verlag 1992.
(4) Loethe, Herbert: Conceptually Defined Turtles. In: Hoyles,C., Noss,R: Learning Mathematics and LOGO. The MIT  Press 1992. S. 60/61.
(5) Rissberger, Alfons: "Moderne Analphabeten". Interview in: DER SPIEGEL, 48/1994. S.79.
(6) Weber, Manfred: Prozeßdatenverarbeitung unter LOGO für den PC. Dümmler-Verlag 1994.

Anschrift des Verfassers: Gerhard Otte,Konrad-Adenauer-Allee 10, 64569 Nauheim
LOGO-Prozeduren zum Tangentenproblem

PR SETZE_FUNKTION :liste
setze "list" me [ :x ] [ ]
setze "liste" me "rg" :liste
setze "list" ml :liste :list
def "f" :list
ENDE

PR f :x
rg :x ^ 2
ENDE

PR ZEICHNE :li :re
vi
bild
sh
setze "d" :re - :li
setze "dy" ( f :re ) - f :li
setze "ymin" f :li
setze "xfakt" 200 / :d
setze "yfakt" 200 / :dy
ursprung 100 - :xfakt * :li 30 - :ymin * :yfakt
aufxy 0 0
x_achse :li :re
y_achse :li :re
graph :li :re
ENDE

PR x_achse :von :bis
sh
aufxy :xfakt * :von 0
sa
aufkurs 90
li 90
rw 5
sh
setze "xalt" xko
setze "yalt" yko
rw 10
sa
schreibe :von
sh
aufxy :xalt :yalt
vw 5
sa
re 90
setze "von" :von + 1
wh 1 + :bis - :von [ vw :xfakt li 90 rw 5 sh
setze "xalt" xko setze "yalt" yko rw 10 sa
schreibe :von sh aufxy :xalt :yalt vw 5 re 90
sa setze "von" :von + 1 ]
ENDE

PR y_achse :von :bis
hole_maxy :von :bis
wenn :ymax > 20 dann setze "ymax" 20
wenn :ymin < (-10) dann setze "ymin" (-10)
sh
aufxy 0 0
sa
aufkurs 0
setze "x0" xko
setze "y0" yko
setze "y" 1
wh runde :ymax [ vw :yfakt li 90 setze "alt" xko
setze "yalt" yko vw 10 sh vw 10 sa schreibe :y
sh aufxy :xalt :yalt setze "y" :y + 1 re 90 sa ]
sh
aufxy :x0 :y0
aufkurs 0
re 180
setze "y" ( - 1 )
wh runde abs :ymin [ vw :yfakt re 90
setze "xalt" xko setze "yalt" yko vw 10 sh vw 20
sa schreibe :y sh aufxy :xalt :yalt li 90 sa
setze "y" :y - 1 ]
ENDE

PR graph :anfang :ende
wenn :anfang > :ende dann rk
aufxy :anfang*:xfakt :yfakt*f :anfang
sa
graph :anfang + :d/10 :ende
ENDE

PR hole_maxy :von :bis
wenn :von > :bis dann rk
setze "y" f :von
wenn :y < :ymin dann setze "ymin" :y
wenn :y > :ymax dann setze "ymax" :y
hole_maxy :von + 1 :bis
ENDE

PR SEKANTE :x1 :x2
sh
setze "g_x1" :x1*:xfakt
setze "g_y1" :xfakt*f :x1
aufxy :xfakt*:x1 :yfakt * f :x1 setze "g_x2" :xfakt*:x2
setze "g_y2" :xfakt*f :x2
aufkurs richtung :xfakt * :x2 :yfakt * f :x2
sa
farbe 255 0 0
rw 200
vw 500
farbe 0 0 0
(dz "Steigung:" ( :g_y2 - :g_y1 ) / (g_x2-:g_x1) )
ENDE

 

 

 

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